Axiom ja teoreema
Aksiomi on lauseke, jota pidetään totta, perustuen logiikkaan; sitä ei kuitenkaan voida osoittaa tai osoittaa, koska sitä pidetään itsestään selvänä. Pohjimmiltaan mikä tahansa julistettu olevan totta ja hyväksytty, mutta jolla ei ole mitään todisteita tai jolla on käytännön keino todistaa se, on aksiomi. Sitä kutsutaan joskus myös positiiviseksi tai oletukseksi.
Axiomin perusta sen totuudelle jätetään usein huomiotta. Se on yksinkertaisesti, eikä ole tarpeen harkita enää. Useat aksiomit haastavat kuitenkin yhä useamman mielen, ja vain hetki kertoo, ovatko he säröjä vai geniuksia.
Aksiomit voidaan luokitella loogiseksi tai ei-loogiseksi. Loogiset aksiomit ovat yleisesti hyväksyttyjä ja kelvollisia lausuntoja, kun taas ei-loogiset aksiomit ovat yleensä loogisia ilmaisuja, joita käytetään matemaattisten teorioiden rakentamisessa.
Matematiikan axiomien erottaminen on paljon helpompaa. Aksiomi on usein lausunto, jonka oletetaan olevan totta loogisen sekvenssin ilmentämisen vuoksi. Ne ovat todistusaineiston tärkeimpiä rakennuspalikoita. Aksiomit toimivat muiden matemaattisten lausumien lähtökohtana. Nämä lausunnot, jotka on johdettu aksiomista, kutsutaan teoreemeiksi.
Lause on määritelmän mukaan lausunto, joka perustuu axiomien, muiden teoreemojen ja eräiden loogisten yhteyksien joukkoon. Lauseita on usein osoitettu tiukan matemaattisen ja loogisen perustelun avulla, ja prosessi kohti todisteita luonnollisesti liittyy yhteen tai useampaan axiomaan ja muihin lausuntoihin, jotka ovat jo hyväksyttyjä.
Lauseita usein ilmaistaan johdettuina, ja näitä johdannaisia pidetään ilmentämisen todisteena. Teoreemin todistuksen kaksi osaa kutsutaan hypoteesiksi ja päätelmiksi. On huomattava, että teoreemoja haastetaan useammin kuin aksiomiksi, koska niihin liittyy enemmän tulkintoja ja erilaisia johtamismenetelmiä.
Ei ole vaikeaa harkita tiettyjä teoreetteja aksiomiksi, koska on olemassa muita lausuntoja, jotka intuitiivisesti oletetaan olevan totta. Niitä pidetään kuitenkin oikeammin teoreemeinä, koska ne voidaan johtaa vähennysperiaatteiden avulla.
Yhteenveto:
1. Axiom on lauseke, jonka oletetaan olevan totta ilman todisteita, kun taas teoriaa voidaan todistaa ennen kuin sitä pidetään todellisena tai vääräksi.
2. Aksiominen on usein itsestäänselvää, kun taas teoriassa tarvitaan usein muita lausuntoja, kuten muita teorioita ja aksiomeja, päteviksi.
3. Lauseita haastetaan luonnollisesti enemmän kuin aksiomit.
4. Periaatteessa teoreemat ovat peräisin aksiomista ja joukosta loogisia linkkejä.
5. Aksiomit ovat loogisten tai matemaattisten lausumien perusrakenteita, koska ne toimivat teoreemien lähtökohdina.
6. Aksiomit voidaan luokitella loogiseksi tai ei-loogiseksi.
7. Laulun todistuksen kaksi osaa kutsutaan hypoteesiksi ja päätelmiksi.
